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期权定价模型(一)——随机过程基础

衍生品量化 2019-07-02 07:39:18

        期权定价模型是期权交易中非常重要的一个组成部分,对于期权交易者而言,无论你是期权趋势交易者、期权做市商、还是期权套利者,了解期权定价模型的基本理论都是成功交易非常关键的基础。而期权定价的核心就是波动率定价,波动率可以说是期权交易的核心,下面我就为大家介绍一下期权定价的或者说是波动率定价的基本理论。

 

        期权定价理论的基础是假设标的证券价格的随机游走。所谓的标的证券价格或者说股价的随机游走,是说股票价格的对数走势是一个广义的布朗运动(General BrownMotion)即股价对数服从广义的维纳过程(S ~ GeneralWiener Process)。 

        这里有几个概念需要向大家解释一下:

1、马尔可夫过程(Markov Process):所谓的马尔科夫过程是,是一个特殊的随机过程,在该过程中,只有标的变量的当前值和未来的预测有关,而和变量的历史值无关,同时也与变量历史到现在的演变方式无关。

e ~ Markov Process

马尔科夫过程是后续介绍维纳过程和广义维纳过程的基础,同时也是布朗运动和广义布朗运动的基础。英雄不问出处,就是一种马尔可夫过程。

 2、维纳过程(Wiener Process):所谓的维纳过程是指,某一过程是服从正太分布的马尔科夫过程。

dz = e*sqrt(delta t).

3、广义维纳过程(General Wiener Process):所谓的广义的维纳过程是指:某一过程在维纳过程的基础之上与时间正相关。

dx = a*dt + b*dz.

4、伊藤过程(Ito Process):若某一广义维纳过程的漂移率(Drift Rate)和广差率(Variant Rate)由变量和时间决定,则称这一过程为伊藤过程。

dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz.

伊藤过程是衍生品定价的基础,主要应用于标准期权和奇异期权的定价。如果x只由xt时刻的值决定,则称该伊藤过程具有马尔科夫性质,否则称该伊藤过程不具有马尔科夫性质。

 

5、布朗运动:满足维纳过程的运动称之为布朗运动。

6、广义布朗运动:满足广义维纳过程的运动称之为广义布朗运动。

 

两个个重要的推论:

1、       若股票价格的运动是一个马尔科夫过程 S ~ MarkovProcess,则股票价格的对数满足广义维纳过程lnx ~ General Wiener Process

2、       伊藤引理:任一种衍生品的价格G都是标的证券价格随机变量S和时间T的函数。

dx = a(x,t)dt + b(x,t)dz.

伊藤引理告诉我们,G是一个伊藤过程,同时若股价的对数是一个广义维纳过程,则伊藤过程G具有马尔科夫性质。