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期权定价模型—蒙特卡洛模型

期权宽客 2020-07-04 16:35:59

在美式期权的定价研究中,二叉树模型、模特卡罗模型和有限差分模型扮演着重要的角色。直至今日,大多数定价模型的也不过是在这三种经典模型上的变形和推广。之前我们介绍过二叉树模型的定价方法,今天我们来介绍模特卡罗模型(Monte Carlo Model)。


模特卡罗方法


假设我们需要计算一个不规则图形的面积S(a),一般的方法是用解析法或积分法计算,但显然,这个计算的难度是和图形的不规则程度成正比的。运用模特卡罗方法我们可以这样做(有兴趣的同志们可以回家试试):

1)引入一个容易计算面积的正方形S(b);

2)在不规则图形S(a)和正方形上均匀的撒大小差不多的豆子;

3)数两个图形上的豆子数量N(a)和N(b);

4)不规则图形的面积可以估计为:

       S(a) = [ S(b) * N(a) ]÷N(b)

容易理解,这个计算的准确性和豆子撒的密度有关,豆子越密,得到估计值越接近不规则图形的真实面积。


以上就是模特卡罗方法解决问题的思路:在计算某些较为复杂的随机变量的数值特征的时候,将问题转化为计算相对简单的随机变量,并通过计算这些相对简单的随机变量得到我们想得到的结果。通俗的讲,模特卡罗方法类似武 侠小说里的“小无相功”,模特卡罗方法是内功,用来放大使用其他“武功”的威力。 


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接下来的例子有助于更好理解模特卡罗模型:如何生成一组服从指数分布的随机变量。虽然我们知道指数分布的密度函数:


直接生成服从指数分布的统计量仍然是困难的。

(下面内容涉及基础数学知识不再赘述,对细节感兴趣的读者可以私下联系)

引入函数:


其中U是[0,1]上的均匀分布。数学基础知识告诉我们,服从指数分布,注意到上面的式子,服从均匀分布的随机变量是容易得到的,因此我们就将这个难题转化为:


这样,我们就通过均匀分布生成了指数分布。事实上,这也是计算机生成大部分随机变量的方法。


美式期权定价的模特卡罗模型


在美式期权的蒙特卡洛模型中,我们仍然假设股价的波动服从几何布朗运动,由于美式期权的理论价格与未来现金流的现值有关,所以不能直接应用布朗运动的性质求期末的期权价格。因此,我们把行权期限分成n1个小段,股价在每个小段上都服从几何布朗运动,因此可以依次计算每个节点的股票价格,进一步得到每个节点的美式期权的理论价格,最终计算得到这条样本路径上的期权理论价格。重复上面的步骤n2次就得到了n2个样本,平均得到的n2个理论价格就得到了模特卡罗模型的理论价格。模特卡罗模型思路清晰,操作简单灵活,这些特点是它在期权定价模型中占有重要地位的主要原因。


有得必有失,相对于之前讨论的二叉树模型,模特卡罗模型无法得到一个确定的结果,即便在n1和n2一样的情况下,计算得到的结果也是略有差异的。另外,为了得到更加精确的结果,对计算的样本数量也有较高的要求,这对计算机的计算速度提出了更高的要求。不过,在计算机日新月异的今天,模特卡罗模型灵活简单的特点越发突出,也更加为人所接受。


来源:期权屋




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